Question

【题目】如图，在ABCD中，AC⊥CD．

(1)延长DC到E，使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；

(2)若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AF，CG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)四边形AFCG是菱形.

【解析】

(1)根据矩形的判定方法，通过条件先判定四边形ABEC是平行四边形，再由AC⊥CD，得到平行四边形的一个内角是直角，可证明四边形ABEC是矩形；

(2)由中点G、F和ABCD，可证明四边形AFCG也是平行四边形，在Rt△ACD中用斜边中线等于斜边一半可得到AG=CG，进而可求证四边形AFCG是菱形.

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵CD＝CE，

∴CE∥AB，CE＝AB，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∵AC⊥CD，

∴∠ACE＝90°，

∴四边形ABEC是矩形；

(2)四边形AFCG是菱形，

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AD∥CB，

∵点F、G分别是BC、AD的中点，

∴AG＝DG＝AD，BF＝CF＝BC，

∴AG＝CF，

∴四边形AFCG是平行四边形，

∵∠ACD＝90°，G为AD的中点，

∴AG＝CG，

∴四边形AFCG是菱形．