Question

1．若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0）；且二次函数化为顶点式是y=a（x-h）²+k，则下列说法：
①b²-4ac＞0；
②x₁+x₂=2h；
③二次函数y=ax²+bx+2c（a≠0）化为顶点式为y=a（x-h）²+2k；
④若c=k，则一定有h=b．
正确的有（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 首先根据抛物线与x轴交于两个不同点可得到b²-4ac＞0，根据抛物线的顶点坐标公式为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），对称轴x=x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{b}{2a}$来进行判断．

解答 解：由二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），
∴b²-4ac＞0，故①正确；
由二次函数化为顶点式是y=a（x-h）²+k，可知x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=h，
∴x₁+x₂=2h，故②正确；
由二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）化为顶点式是y=a（x-h）²+k可知：-$\frac{b}{2a}$=h，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=k，
∴二次函数y=ax²+bx+2c的顶点横坐标为：-$\frac{b}{2a}$=h，纵坐标为：$\frac{4a×2c-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{8ac-{b}^{2}}{4a}$≠2k，故③错误；
∵$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=k，c=k，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=c，解得b=0，
∴h=-$\frac{b}{2a}$=0，故④正确；
因此正确的结论是①②④．
故答案为：C．

点评 本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数顶点的坐标特征等知识点的理解和掌握．