Question

6．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，若点A纵、横坐标绝对值的比为4：3．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）先设A点坐标是（a，b），根据点A纵、横坐标绝对值的比为4：3，易知$\frac{b}{a}=-\frac{4}{3}$①，再把（a，b）代入一次函数解析式可得$b=-\frac{2}{3}a+2$②，两式联合可求a、b，再把a、b的值代入反比例函数，即可求k，从而可得反比例函数解析式；
（2）先求出一次函数与x轴的交点D的坐标，再求出一次函数与反比例函数的另一交点B的坐标，利用S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，易求△AOB的面积．

解答 （1）过A作AC⊥x轴于C，设A点坐标是（a，b），则$\frac{b}{a}=-\frac{4}{3}$①，
把A点坐标代入一次函数，得$b=-\frac{2}{3}a+2$②，
①②联合解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=4}\end{array}\right.$，
把A（-3，4）代入反比例函数，得k=-12，
∴反比例函数的解析式是$y=-\frac{12}{x}$；     
（2）令y=0，则0=-$\frac{2}{3}$x+2，解得x=3，
∴一次函数数$y=-\frac{2}{3}x+2$与x轴的交点D的坐标是（3，0），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{3}x+2}\\{y=-\frac{12}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-2}\end{array}\right.$
∴一次函数与反比例函数的另一个交点B的坐标是（6，-2），
∴${S_{△AOB}}={S_{△AOD}}+{S_{△BOD}}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×2=9$．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是理解点和解析式的关系，以及采用分割法求三角形的面积．