Question

【题目】【问题探究】
已知：如图①所示，∠MPN的顶点为P，⊙O的圆心O从顶点P出发，沿着PN方向平移．

（1）如图②所示，当⊙O分别与射线PM，PN相交于A、B、C、D四个点，连接AC、BD，可以证得△PAC∽△ ， 从而可以得到：PAP B=P CP D．
（2）如图③所示，当⊙O与射线PM相切于点A，与射线PN相交于C、D两个点．求证：PA2=PCPD．

（3）【简单应用】
如图④所示，（2）中条件不变，经过点P的另一条射线与⊙O相交于E、F两点．利用上述（1），（2）两问的结论，直接写出线段PA与PE、PF之间的数量关系；当PA=4 ，EF=2，则PE= ．

（4）【拓展延伸】如图⑤所示，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大⊙O上的任意两点，经过A、B 两点作线段，分别交小⊙O于C、E、D、F四个点．求证：ACAE=BDBF．（友情提醒：可直接运用本题上面所得到的相关结论）

Answer 1

【答案】
（1）△PDB
（2）证明：连接AC、AD，如图③所示：

∵⊙O与射线PM相切于点A，与射线PN相交于C、D两个点，

∴∠PAC=∠PDA，

又∵∠P=∠P，

∴△PAC∽△PDA，

∴PA：PD=PC：PA，

∴PA2=PCPD

（3）PA2=PE?PF,6
（4）证明：过A作⊙O的切线AM，M为切点，过B作⊙O的切线BN，N为切点，连接OA、OM、OB、ON，则AM⊥OM，BN⊥ON，如图⑤所示：

由（3）得：AM2=ACAE，BN2=BDBF．

在Rt△AOM中，AM2=OA2﹣OM2，

在Rt△BON中，BN2=OB2﹣ON2，

又∵OM=ON，OA=OB，

∴AM2=BN2，

∴ACAE=BDBF．

【解析】（1）解：由圆内接四边形的性质得：∠PAC=∠PDB，

又∵∠P=∠P，

∴△PAC∽△PDB，

∴PA：PD=PC：PB，

∴PAP B=P CP D．

所以答案是：△PDB；（3）解：由（2）得：PA2=PEPF．

∵PA=4 ，EF=2，

∴PEPF=（4 ）2=48，

即PE（PE+2）=48，

解得：PE=6，或PE=﹣8（舍去），

∴PE=6，

所以答案是：PA2=PEPF，6；