Question

如图，抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（-1，0），且tan∠ABC=

1

2

，作垂直于x轴的直线x=m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）若△CEF为等腰三角形，求m的值；
（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若∠BPM=∠ABC，求P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意易求点A、B的坐标，把它们的坐标代入抛物线解析式，利用方程求得系数a、b的值；把点B、C的坐标代入直线方程，利用待定系数法求得直线BC的方程；
（2）此题需要分类讨论：分别以点C、E、F为顶点的等腰三角形．由等腰三角形的性质和两点间的距离公式来求m的值；
（3）根据题意易证：△PHM∽△MRB，由该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义推知PH、HM、PQ间的数量关系，然后根据二次函数图象上点的坐标特征来求点P的坐标即可．

解答：解：（1）由题意得：C（0，-2）．
∵tan∠ABC=

CO

BO

=

2

BO

=

1

2

，
∴OB=4，
∴B（4，0）．将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，得

a-b-2=0 16a+4b-2=0

，
解得

a= 1 2 b=- 3 2

．
则抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2．
设直线BC的解析式为：y=kx+n（k≠0）．
把B（4，0），C（0，-2）代入得：

4k+n=0 n=-2

，
解得

k= 1 2 n=-2

，
故直线BC为：y=

1

2

x-2；

（2）∵由（1）知，抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2．直线BC为：y=

1

2

x-2．
∴E（m，

1

2

m-2），F（m，

1

2

m²-

3

2

m-2），（0＜m＜4）．
则CE²=m²+（

1

2

m）²=

5

4

m²，CF²=m²+（

1

2

m²-

3

2

m）²=

1

4

m⁴-

3

2

m³+

13

4

m²，EF²=（

1

2

m²-2m）²=

1

4

m⁴-2m³+4m²．
①若以C为顶点，则CE²=CF²，即

5

4

m²═

1

4

m⁴-

3

2

m³+

13

4

m²，
解得 m₁=2，m₂=4（不合题意，舍去）；
②若以点E为顶点时，CE²=EF²，即

5

4

m²=

1

4

m⁴-2m³+4m²．
解得  m₃=4-

5

，m₄=4+

5

（不合题意，舍去）；
③若以点F为顶点时，CF²=EF²，即

1

4

m⁴-

3

2

m³+

13

4

m²=

1

4

m⁴-2m³+4m²．
解得 m₅=

3

2

．
综上所述，符合条件的m值为：2或4-

5

或

3

2

；

（3）如图：过点M作与x轴平行的直线，分别作P点、B点与该直线的垂线交于点H、R，连接PH、BR、HR
易证△PHM∽△MRB，
∴

PH

MR

=

HM

BR

=

PM

MB

．
又∵x轴∥HR，
∴∠ABC=∠BMR，
∴tan∠BMR=tan∠ABC=

BR

MR

=

1

2

．
令BR=a，MR=2a．
又∵∠BPM=∠ABC，
∴tan∠BPM=tan∠ABC=

BM

PM

=

1

2

，
∴

PH

MR

=

HM

BR

=

1

2

，
∴HP=4a，HM=2a，PQ=3a，
∴HR=4a，
∴P（4-4a，3a）．
又∵点P在抛物线上，把P（4-4a，3a）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，得

1

2

（4-4a）²-

3

2

（4-4a）-2=3a，
整理，得8a²-13a=0，
解得 a₁=0（舍去），a₂=

13

8

．
∴P（-

5

2

，

39

8

）．

点评：本题考查了二次函数综合题型．其中涉及到了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意，对于动点问题，需要分类讨论．