Question

5．如图，已知一次函数y=2x-8与抛物线y=x²+bx+c都经过x轴上的A点和y轴上的B点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，试求出点D的坐标和△ABD的面积；
（3）M是线段OA上的一点，过点M作MN⊥x轴，与抛物线交于N点，若直线AB把△MAN分成的两部分面积之比为1：3，请求出N点的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出A，B点坐标进而利用待定系数系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先利用配方法求出二次函数顶点坐标，再利用S_△ABD=S_{四边形AOBD}-S_△AOB=S_梯形OBDG+S_△AGD-S_△AOB，求出答案；
（3）根据题意可得：$\frac{{S}_{△AMH}}{{S}_{△AHN}}$=$\frac{MH}{NH}$，进而利用直线AB把△MAN分成的两部分面积之比为1：3，讨论得出答案．

解答 解：（1）∵直线y=2x-8经过x轴上的点A和y轴上的点B
∴0=2x-8，x=4，∴A（4，0），
y=2×0-8=-8，
∴B（0，-8），
又∵抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=16+4b+c}\\{-8=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴抛物线为：y=x²-2x-8；

（2）由（1）可得：y=x²-2x-8=（x-1）²-9，
故顶点坐标为：D（1，-9），
如图，过D作x轴的垂线，交x轴于G，
则OG=1，
故S_△ABD=S_{四边形AOBD}-S_△AOB
=S_梯形OBDG+S_△AGD-S_△AOB
=$\frac{1}{2}×$（8+9）×1+$\frac{1}{2}$×（4-1）×9-$\frac{1}{2}×$4×8
=6；

（3）如图，过M作MN⊥x轴，交AB于H，交抛物线于N，设M（t，0）
则H（t，2t-8）；N（t，t²-2t-8）
由图可知：$\frac{{S}_{△AMH}}{{S}_{△AHN}}$=$\frac{MH}{NH}$=$\frac{|2t-8|}{|{t}^{2}-2t-8-（2t-8）|}$=$\frac{2t-8}{{t}^{2}-4t}$，
①当$\frac{{{S_{△AMH}}}}{{{S_{△AHN}}}}=\frac{2t-8}{{{t^2}-4t}}=\frac{1}{3}$时，
解得：t₁=4，t₂=6都不合题意，舍去，
②当$\frac{{{S_{△AMH}}}}{{{S_{△AHN}}}}=\frac{2t-8}{{{t^2}-4t}}=\frac{3}{1}$时，
解得：t₁=$\frac{2}{3}$，t₂=4（不合题意，舍去），
由①和②可得：t=$\frac{2}{3}$，
∴t²-2t-8=（$\frac{2}{3}$）2-2×$\frac{2}{3}$-8=-$\frac{80}{9}$，
∴N（$\frac{2}{3}$，-$\frac{80}{9}$）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及三角形面积求法和待定系数法求二次函数解析式等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．