Question

14．在△ABC，∠BAC=60°，以BC为边在△ABC的同侧作等边△DBC，BD，AC相交于E，连结AD．
（1）如图1，若$\frac{AC}{AB}$=2，求证：△ABC≌△ADC；
（2）如图2，若$\frac{AC}{AB}$=3，求$\frac{AB}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠BDC=∠DCB=60°，BC=CD，如图1，取AC的中点，连接BO，由已知条件得到AO=AB，△ABO是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AO=BO，∠AOB=60°，推出BO=CO，得到∠OBC=∠OCB，即可得到结论；
（2）如图2，在AC上截取AF=AB，由已知条件得到△ABF是等边三角形，根据AC=3AB，得到CF=2AB，通过△ABD≌△BFC，得到CF=AD，等量代换得到AD=2AB，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠DCB=60°，BC=CD，
如图1，取AC的中点，连接BO，
∵$\frac{AC}{AB}$=2，
∴AO=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO=BO，∠AOB=60°，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠AOB=∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=30°，
在△ABC与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ACB=∠ACD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC；

（2）解：如图2，在AC上截取AF=AB，
∵∠BAC=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，
AB=AF=BF，
∵AC=3AB，
∴CF=2AB，
∵∠ABF=∠DBC=60°，
∴∠ABD+∠DBF=∠DBF+∠FBC=60°，
∴∠ABD=∠FBC，
在△ABD与△BFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BF}\\{∠ABD=∠FBC}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BFC，
∴CF=AD，
∴AD=2AB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．