Question

2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0），求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系数法直接求出；
（2）设AB与y轴交于点X，则△XOA∽△MQA，利用相似比例求MQ的长度即可求出正方形QCDE的面积；
（3）①由于阴影部分是两个相似的梯形，且相似比可求，所以只要求出其中一个梯形的面积即可．
②将边的重合转化为点的相遇：延长DE交x轴于点R，P与R相遇即DE与PF重合，紧接着P与Q相遇时，PH与FQ，FP与CQ重合，路程可求，速度之比已知，则P点在这两次的运动路程也就可求，从而坐标也就确定了．

解答 解：（1）
设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将点A（10，0）和点B（2，2）代入y=ax²+bx可得：$\left\{\begin{array}{l}{100a+10b=0}\\{4a+2b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{8}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{8}{x}^{2}+\frac{5}{4}x$；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+h，
将点A（10，0）和点B（2，2）代入y=kx+h可得：$\left\{\begin{array}{l}{10k+h=0}\\{2k+h=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{4}}\\{h=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：$y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}$；
设直线AB与y轴交于点X，如图1，

则X（0，$\frac{5}{2}$），
∵P（m，0），
∴OP=m，
∵AQ=2OP，
∴AQ=2m，
∵△XOA∽△MQA，
∴$\frac{MQ}{AQ}=\frac{XO}{AO}=\frac{1}{4}$，
∴$MQ=\frac{m}{2}$，
∴DQ=m，
∴$S=\frac{1}{2}{m}^{2}$；
（3）①当点P运动到点（2，0）时，N点与B点重合，
此时，OP=2，NP=2，AQ=4，Q（6，0），HP=2$\sqrt{2}$，$MQ=\frac{1}{4}AQ=1$，
∴$\frac{NP}{MQ}=2$，
过点N作NT⊥HP于点T，如图2，

则$NT=\sqrt{2}$，
∴S_梯IHPJ=NT×HP=4，
∵梯形IHPJ与梯形KEQL相似，相似比为$\frac{NP}{MQ}=2$，
∴${S}_{梯KEQL}=\frac{1}{4}{S}_{梯IHPJ}$=1，
∴S_阴=S_梯IHPJ+S_梯KEQL=5；
②当点P运动到点（2，0）时，延长DE交x轴于点R，如图3，

此时，PR=2，
接着，点P与点R相向运动至重合时，DE与PF重合，同时CD与GF重合，
由于始终有AQ=2OP，由题意M（10-2m，$\frac{1}{2}$m）．此时OP+RQ+AQ=10，
m+m+2m=10，
m=$\frac{5}{2}$
此时P点坐标为（$\frac{5}{2}$，0）；
当P点与Q点继续相向运动至相遇时，HP与EQ，QC与PF均重合，
对于整个全程OA=10而言，P点运动的路程为$\frac{1}{3}×10=\frac{10}{3}$，
即P、Q相遇时，P点的坐标为（$\frac{10}{3}$，0）；
综上所述，当P点坐标为（$\frac{8}{3}$，0）、（$\frac{10}{3}$，0）时，会出现两个正方形分别有边落在同一条直线上．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、正方形的面积计算、梯形的面积计算、动点相遇问题等知识点，有一定综合性，难度适中．对于第（2）问，知道两个梯形相似是关键；第（3）问只要将问题转化为点的相遇问题就很容易解决，化归与转化的数学思想一直是考查的重点，要引起重视．