Question

7．如图，抛物线y=-$\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{3}{4}x+3$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设D为抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ABC的面积时，求点D的坐标；
（3）设点M为抛物线上一点，且以A，B，C，M为顶点是四边形为梯形，请直接写出所有符合要求的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）令-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3=0，解出方程的根，即可求出点A和点B的坐标；
（2）首先求出△ACB的面积，然后设设点D的坐标为（-1，a），再讨论点D位于AC上方或下方时，利用面积相等求出a的值即可；
（3）分别讨论CM∥AB、BC∥AM和AC∥BM三种情况，分别求出点M的坐标即可．

解答 解：（1）由题意得：-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
即点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（2，0）；
（2）如图，∵抛物线y=-$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3的对称轴为x=-1，与y轴的交点C坐标为（0，3），
∴直线AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，且当x=-1时，y=$\frac{9}{4}$，
∴直线AC与对称轴x=-1的交点H坐标为（-1，$\frac{9}{4}$），
∵AB=6，CO=3，
∴△ACB的面积为S_△ACB=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
不妨设点D的坐标为（-1，a），当点D位于AC上方时，DH=a-$\frac{9}{4}$，
∴△ACD的面积为S_△ACD=$\frac{1}{2}$×（a-$\frac{9}{4}$）×4=9，
∴a=$\frac{27}{4}$，
当点D位于AC的下方时，DH=$\frac{9}{4}$-a，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$×（$\frac{9}{4}$-a）×4=9，
解得a=-$\frac{9}{4}$，
∴点D的坐标为（-1，$\frac{27}{4}$）或（-1，-$\frac{9}{4}$）；
（3）如图2，
当CM∥AB时，点M的坐标为（-2，3）；
当BC∥AM时，设点M坐标为（m，n），
则-$\frac{3}{2}$=$\frac{n}{m+4}$①，
由n=-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+3②，
由①②得m=6，
当m=6时，n=-15，
当AC∥BM时，
则$\frac{3}{4}$=$\frac{n}{m-2}$③，
由n=-$\frac{3}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+3②，
由②③可得m=-6，
当m=-6时，n=-6，
综上所述点M的坐标为（-2，3）或（6，-15）或（-6，-6）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到二次函数的性质，三角形面积的求法，一元二次方程的解法、梯形的判定等知识，解答（2）问的关键是对点D的位置进行讨论，解答（3）问的关键是确定梯形的哪两条边平行，此题有一定的难度．