Question

16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．若AC=12cm，BC=5cm，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC的周长的最小值是18cm．

Answer 1

分析 根据轴对称求最短路径的知识可得，点C关于DE的对称点和点B的连线与DE的交点即是点P的位置，结合图形可得点P的位置即是点E的位置，从而可求出此时△PBC的周长．

解答 解：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴点F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，即可得点E是斜边AB的中点，
∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=5cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13，
根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小，
故△PBC的最小周长=PB+PC+BC=13+5=18（cm）．

点评 本题考查利用轴对称求最短路径的知识，与实际结合得比较紧密，有一定的综合性，解答本题的关键是利用轴对称的性质确定点P的位置．