Question

5．观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式（a+b）²=a²+2ab+b²；
（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．

Answer 1

分析 （1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出结论；
（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论．

解答 （1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积=（a+b）²，
又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积=a²+b²+ab+ab=a²+2ab+b²，
∴（a+b）²=a²+2ab+b²；
故答案为：（a+b）²=a²+2ab+b²；
（2）证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°；
（3）证明：∵∠B=∠D=90°，
∴∠B+∠D=180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab，
整理得：a²+b²=c²．

点评 本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．