Question

15．将一块直角三角板放在如图1所示的位置，∠1与∠2互余．
（1）试判断直线a与b的位置关系，并证明之；
（2）如图2，转动三角板，使直角顶点C始终在直线a、b之间，点M在线段CD上，∠CEG与∠CEM互补，求$\frac{∠MEG}{∠BDF}$的值．

Answer 1

分析 （1）过点B作CH∥EG，故可得出∠1=∠3，再由∠1+∠2=90°可知∠3+∠4=90°，求得∠2=∠4，由此可得出结论；
（2）延长BC交直线a于点N，利用等角的补角相等得出∠1=∠2，进一步求得△MEN是等腰三角形，进一步求得∠MEG=2∠BDF，得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点C作CH∥EG，

则∠1=∠3，
∵∠ACB=90°；
∴∠3+∠4=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠4，
∴a∥b．
（2）如图2，

延长BC交直线a于点N，
∵∠AEM与∠CEG互余，
∴∠1+∠CEG=90°，又∠2+∠CEG=180°，
又∵∠2+∠CEG=180°，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，
∴△MEN是等腰三角形，
∴∠3=∠4，
∴∠MEG=∠3+∠4=2∠3，
∵a∥b，
∴∠BDF=∠3，
∴∠MEG=2∠BDF，$\frac{∠MEG}{∠BDF}$=2．

点评 本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等?两直线平行，②内错角相等?两直线平行，③同旁内角互补?两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．