Question

20．如图抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点别为A（1，0），B（3，0）
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点P在该抛物线上滑动，若使△PAB的面积为1，这样的点P有几个？并求出满足P点的坐标；
（3）设抛物线交y轴于点C，在该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点别为A（1，0），B（3，0），由待定系数法即可得到这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）根据（1）中得出的抛物线的解析式，可求得顶点的坐标，根据两点之间的距离公式能得出AB的长．△PAB中，AB的长为定值，那么可根据△PAB的面积求出P到AB的距离，即P点纵坐标的绝对值，然后将其代入抛物线的解析式中（分正负两个值）即可求出P点的坐标．
（3）本题的关键是找出M点的位置，已知B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接BC，直线BC与对称轴的交点即为M点．可根据B、C两点的坐标先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出M点的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点别为A（1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴y=-x²-4x-3；    
（2）符合条件的点P有三个．        
y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
则顶点为（2，1），
∵AB=2，S_△PAB=1，
∴P点的纵坐标为±1，
当y=1时，P为抛物线顶点，
当y=-1时，-1=-（x-2）²+1，
解得x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$．        
∴符合条件的坐标有（2，1），（2+$\sqrt{2}$，-1），（2-$\sqrt{2}$，-1）；
（3）存在，连结BC，BC与对称轴的交点为M，
若在对称轴上另取一点M′，则M′C+M′A=M′C+M′B＞BC，
则△MAC周长最小，
设过点B，C的直线的解析式y=kx-3，把B（3，0）代入可得3k-3=0，
解得k=1，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
当x=2时，y=2-3=-1，
则M（2，-1）．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，涉及二次函数解析式的确定，图形面积的求法，函数图象的交点等知识；（3）题中能正确的找出M点的位置是解题的关键所在．