Question

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-4，0），B（-1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．如图，若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析，作辅助线，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；

解答 解：（1）把点A（-4，0）、B（-1，0）代入解析式y=ax²+bx+3，
得$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3．

（2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H．

∵S_?ODAE=6，OA=4，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$OA•DH=3，
∴DH=$\frac{3}{2}$．
因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，
∴$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3=-$\frac{3}{2}$，
解得：x₁=-2，x₂=-3．
∴点D坐标为（-2，-$\frac{3}{2}$）或（-3，-$\frac{3}{2}$）．
当点D为（-2，-$\frac{3}{2}$）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；
当点D为（-3，-$\frac{3}{2}$）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．

点评 此题主要考查了二次函数压轴题、待定系数法、相似三角形、平行四边形、菱形等知识点．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．