Question

13．如图，在?ABCD中，P是对角线BD上的任意一点，过点P作EF∥BC，分别与AB，CD相交于点E，F；过点P再作GH∥AB，分别与AD，BC相交于点G，H，图中有几个平行四边形？其中哪几对平行四边形面积相等？为什么？

Answer 1

分析 由平行四边形的判定方法容易得出图中的平行四边形有9个；由平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，面积相等，得出S_?AEPG=S_?HCFP，得出S_?ABHG=S_?BCFE，S_?AEFD=S_?HCDG．

解答 解：图中有9个平行四边形；其中有3对对平行四边形面积相等S_?ABHG=S_?BCFE，S_?AGPE=S_?HCFP，S_?AEFD=S_?HCDG．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴图中的平行四边形有：?ABCD，?ABHG，?GHCD，?AEFD，?BCFE，?AEPG，?BHPE，?PFDG，?PHCF共9个．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S_△ABD=S_△CBD．
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S_△BEP=S_△BHP，
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，
∴S_△GPD=S_△FPD．
∴S_△GPD=S_△FPD．
∴S_△ABD-S_△BEP-S_△GPD=S_△BCD-S_△BHP-S_△PFD，
即S_?AEPG=S_?HCFP，
∴S_?ABHG=S_?BCFE，
同理S_?AEFD=S_?HCDG．
即：S_?ABHG=S_?BCFE，S_?AGPE=S_?HCFP，S_?AEFD=S_?HCDG．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的面积；熟练掌握平行四边形的判定方法，熟记平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形是解决问题的关键．