Question

5．如图，已知点A（1，0）、B（3，0）、C（0，1）．
（1）若二次函数图象经过点A、C和点D（2，$-\frac{1}{3}$）三点，求这个二次函数的解析式．
（2）求∠ACB的正切值．
（3）若点E在线段BC上，且△ABE与△ABC相似，求出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点C的坐标，设抛物线y=ax²+bx+1，将点A、D的坐标代入，求出a、b的值，可得出二次函数的解析式；
（2）过点B作CA垂线交CA的延长线于点M，易知Rt△AMB为等腰直角三角形，然后过点M作MN⊥x轴，垂足为N，可得OA=AN=NB=1，继而证得Rt△OAC≌Rt△NAM，求出∠ACB的正切值；
（3）要使△ABE与△ABC相似，需AB²=BE•BC，然后代入求出BE的长度，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，根据三角函数的知识求出EF、OF的长度，继而求出OF的长度，得出点E的坐标．

解答 解：（1）点C的坐标为（0，1），设抛物线y=ax²+bx+1，
将点A、D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{4a+2b+1=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=-\frac{4}{3}.\end{array}\right.$，
故所求解析式为：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+1；

（2）过点B作CA垂线交CA的延长线于点M，如图1所示，
易知Rt△AMB为等腰直角三角形，
故有AM=MB，
过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则OA=AN=NB=1，
则Rt△OAC≌Rt△NAM，故有CA=AM=MB，
故tan∠ACB=$\frac{MB}{CM}$=$\frac{1}{2}$；

（3）∵点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，1）．
若△ABE∽△ABC，则AB²=BE•BC，
∵AB=2，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴BE=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
过点E作EF⊥x轴，垂足为F，如右图2所示，
则EF=BE•sin∠EBF=$\frac{4}{\sqrt{10}}$×$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{2}{5}$，
BF=BE•cos∠EBF=$\frac{4}{\sqrt{10}}$×$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{6}{5}$，
OF=OB-BF=$\frac{9}{5}$，
∴点E的坐标为（$\frac{9}{5}，\frac{2}{5}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法确定函数关系式、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、相似三角形的性质、三角函数的知识等知识点，综合性较强，难度适中．