Question

8．如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，PA，OC分别在x轴、y轴正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=$\frac{1}{4}OA$=$\sqrt{2}$，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF时等腰三角形时，求出△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）过点B作BF⊥OA于F，由∠OAB=45°，AB=3，即可求得BF与AF的值，又由BD=$\frac{1}{4}OA$=$\sqrt{2}$，即可求得CD的长，则可求得D点的坐标；
（2）首先连接OD，由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，可得∠DOE=∠COD=45°，又由∠1=∠2，可判定△ODE∽△AEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得到y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3种情况，分别从这三种情况去分析，利用相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及矩形的性质求解，即可求得答案．

解答 解：（1）如图（1），过点B作BM⊥OA于M，
∵∠OAB=45°，
∴AM=BM=AB•sin∠OAB=3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BD=$\frac{1}{4}$OA=$\sqrt{2}$，
∴OA=4$\sqrt{2}$，
∴CD=BC-BD=OM-BD=4$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴D点的坐标是（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）；

（2）连接OD，如图（2），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，
则∠DOE=∠COD=45°，
又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴OD=AB=3，
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，
又∵∠2=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴$\frac{OE}{AF}$=$\frac{OD}{AE}$，
即：$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{4\sqrt{2}-x}$，
∴y与x的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$x；

（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AE或AF=AE或EF=AF共3种情况．
①当EF=AE时，如图（3），
∴∠EFA=∠DEF=45°，
∴DE∥AB，
又∵DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形，
∴AE=DB=$\sqrt{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE²=1；
②当AF=AE时，如图（4），连接OD，
由（2）知△ODE∽△AEF，
则$\frac{OE}{AF}$=$\frac{OD}{AE}$，即$\frac{3}{4\sqrt{2}-x}$=$\frac{x}{y}$，
则3y=4$\sqrt{2}$x-x²，①，
又OE+AE=4$\sqrt{2}$，即x+y=4$\sqrt{2}$②，
联立①②解得：y=4$\sqrt{2}$-3，
∴AE=AF=4$\sqrt{2}$-3，
过B作BH⊥OA于H，过F作FG⊥OA于G，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{FG}{BH}$，
∴FG=$\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•FG=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-3）×\frac{12-3\sqrt{2}}{2}$$\frac{1}{2}$×（4$\sqrt{2}$-3）×$\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{41\sqrt{2}-48}{4}$；
③当EF=AF时，如图（5）．∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
∴∠AEF=45°，
∵∠DEF=45°，
∴∠DEA=90°，
∴四边形COED是矩形，
∴OE=CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=4$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AE²=$\frac{25}{8}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意准确作出辅助线．