Question

19．如图，Rt△AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上，O为原点，点A的坐标为（12，0），点B的坐标为（0，16），动点P从点O出发沿OA向终点A以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿AB向终点B以每秒$\frac{10}{3}$个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时，写出点P的坐标，并求出经过A、P、B三点的抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形是否与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△PQA是一个等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据A、B的坐标，可得到OA=12、OB=16，由勾股定理求出AB，当t=3时，AP=6，即P是OA的中点，由此得到点P的坐标．然后设交点式求出抛物线的解析式．
（2）分两种情况讨论：①当∠QPA=90°时，$\frac{AP}{AO}=\frac{AQ}{AB}$，得出方程，解方程即可；
②当∠PQA=90°时，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AO}$，得出方程，解方程即可；
（3）首先求出Q点的坐标，然后表示出AP、PQ、AQ三边的长；由于△PQA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①PQ=AQ、②PQ=PA、③QA=PA；直接根据等量关系列方程求解即可．

解答 解：（1）∵A（12，0）、B（0，16），
∴OA=12，OB=16，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=20，
当t=3时，OP=2t=6=$\frac{1}{2}$OA，
即P是线段OA的中点，
∴P（6，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-12）（x-6），
把点B坐标代入得：a（0-12）（0-6）=16，
解得：a=$\frac{2}{9}$，
∴抛物线的解析式：y=$\frac{2}{9}$（x-12）（x-6），
即y=$\frac{2}{9}$x²-4x+16；
（2）t=3或t=$\frac{27}{17}$时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOB相似；理由如下：
分两种情况讨论：
①当∠QPA=90°时，PQ∥OB，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{12-2t}{12}=\frac{\frac{10}{3}t}{20}$，
解得：t=3；
②当∠PQA=90°时，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AO}$，
即$\frac{12-2t}{20}=\frac{\frac{10}{3}t}{12}$，
解得：t=$\frac{27}{17}$；
综上所述：t=3或t=$\frac{27}{17}$时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOB相似；
（3）当t的值为2或$\frac{9}{4}$或$\frac{108}{43}$时，△PQA是等腰三角形；理由如下：
过点Q作QC⊥OA于C，如图所示：
则∠QCA=∠QCO=90°，AQ=$\frac{10}{3}$t，
QC=AQ•sin∠BAO=$\frac{10}{3}$t×$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{3}$t，AC=AQ•cos∠BAO=$\frac{10}{3}$t×$\frac{3}{5}$=2t，
∴OC=OA-AC=12-2t，
∴Q（12-2t，$\frac{8}{3}$t）．
∴QP=$\sqrt{（12-2t-2t）^{2}-（\frac{8}{3}t）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{52}{9}{t}^{2}-24t+36}$；
又∵AP=12-2t，AQ=$\frac{10}{3}$t（0＜t≤6）；
①当PQ=AQ时，2$\sqrt{\frac{52}{9}{t}^{2}-24t+36}$=$\frac{10}{3}$t，
即：t²-8t+12=0，
解得：t=2或t=6（舍去）；
②当PQ=PA时，2$\sqrt{\frac{52}{9}{t}^{2}-24t+36}$=12-2t，
即：$\frac{43}{9}$t²-12t=0，
解得：t=0（舍去）或t=$\frac{108}{43}$；
③当QA=PA时，12-2t=$\frac{10}{3}$t，
解得：t=$\frac{9}{4}$．
综上所述，当t的值为2或$\frac{9}{4}$或$\frac{108}{43}$时，△PQA是等腰三角形．

点评 本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定、勾股定理、二次函数解析式的求法、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）（3）中，需要进行分类讨论，通过解方程才能得出结果．