Question

已知在△ABC中，底边BC=10米，高AH=8米，现某工人师傅要把它加工成一个面积最大的矩形DEFG，设计方案如图所示，请计算这个矩形的长和宽各是多少，才能使这个矩形的面积最大．

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：两三角形相似，对应高之比等于相似比．利用此性质即可解答．

解答：解：∵DG∥BC
∴△ADG∽△ABC
它们的对应高线比等于对应线段的比，
即

AM

AH

=

DG

BC

，
设AM=x，那么DE=MH=AH-AM=80-x
∴

x

8

=

DG

10

，
∴DG=

5

4

x
∴S_{四边形DEFG}=DG•DE=（8-x）•

5

4

x=

5

4

（-x²+8x-16）+

5

4

×16=-

5

4

（x-4）²+20
当x=4时，S取最大值
∴DE=4，DG=5
∴矩形的长和宽分别是5m和4m．

点评：此题既要利用相似三角形的性质，又要利用二次函数求最大值，有一定难度．