Question

8．在Rt△AEB中，∠AEB=90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）
（1）求证：EO平分∠AEB．
（2）试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．
（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形．

Answer 1

分析 （1）先根据正方形的性质得出OA⊥OB，故可得出A、O、B、E四点共圆，再由圆周角定理即可得出结论；
（2）延长EA至点F，使AF=BE，连接OF，先根据SAS定理得出△OBE≌△OAF，故可得出OE=OF，再判断出△OEF的形状，根据勾股定理即可得出结论；
（3）先根据ASA定理得出△ABE≌△ADH，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，故可得出CG+FG=BF+BE=AE+AH，由此可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AC⊥BD，∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠AOB=90°，
∴∠AEB+∠AOB=90°+90°=180°，
∴A、O、B、E四点共圆，
∵OA=OB，
∴∠OEB=∠OEA，即EO平分∠AEB；

（2）解：AE+BE=$\sqrt{2}$OE．
理由：如图1，延长EA至点F，使AF=BE，连接OF，
∵由（1）知，∠OBE+∠OAE=180°，∠OAE+∠OAF=180°，
∴∠OBE=∠OAE，
在△OBE与△OAF中，
$\left\{\begin{array}{l}OB=OA\\∠OBE=∠OAF\\ BE=AF\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OAF（SAS），
∴OE=OF，∠BOE=∠AOF．
∵∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∴∠EOF=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴2OE²=EF²，即2OE²=（AE+BE）²，
∴AE+BE=$\sqrt{2}$OE．

（3）证明：如图2所示，
∵ABCD是正方形，∠E=∠H=90°，
∴AB=AD．
∵∠EAB+∠DAH=90°，∠EAB+∠ABE=90°，∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠EAB=∠HAD，∠ABE=∠DAH．
在△ABE与△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}∠EAB=∠HAD\\ AB=AD\\∠ABE=∠DAH\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADH（ASA）．
同理可得，△ABE≌△ADH，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，
∴CG+FC=BF+BE=AE+AH，
∴四边形EFGH为正方形．

点评 本题考查的是正方形的判定与性质，涉及到全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质等知识，难度适中．