Question

【题目】如图，内接于，且为的直径．的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，过点作于点．

（1）求证：；

（2）试猜想线段，，之间有何数量关系，并加以证明；

（3）若，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），证明见解析;（3）

【解析】

（1）连结OD，先由已知△ABD是等腰直角三角形，得DO⊥AB，再根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；

（2）由“一线三垂直模型”易得，进而可得．

（3）利用勾股定理依次可求直径AB=10，，，得，再证明可得，，进而由求得PD即可．

（1）证明：连结，如图，

∵为的直径，

∴，

∵的平分线交于点，

∴，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∵为的切线，

∴，

∴；

（2）答：，证明如下：

∵是的直径，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴，

即.

（3）解：在中，，

∵为等腰直角三角形，

∴

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

在中，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，，

而，

∴，

∴．