【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,F是⊙O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,CE=2,
①求值;
②若点G 为AE上一点,求OG+EG最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)① ②3
【解析】
(1)作辅助线,连接OE.根据切线的判定定理,只需证DE⊥OE即可;
(2)①连接BE.根据BC、DE两切线的性质证明△ADE∽△BEC;又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD,所以;
②连接OF,交AD于H,由①得∠FOE=∠FOA=60°,连接EF,则△AOF、△EOF都是等边三角形,故四边形AOEF是菱形,由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M,则GM=EG,OG+EG=GF+GM,根据两点之间线段最短,当F、G、M三点共线,OG+EG=GF+GM=FM最小,此时FM =3.故OG+EG最小值是3.
(1)连接OE
∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAO
∵∠FAE=∠EAO,∴∠FAE=∠AEO
∴OE∥AF
∵DE⊥AF,∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
(2)①解:连接BE
∵直径AB ∴∠AEB=90°
∵圆O与BC相切
∴∠ABC=90°
∵∠EAB+∠EBA=∠EBA+∠CBE=90°
∴∠EAB=∠CBE
∴∠DAE=∠CBE
∵∠ADE=∠BEC=90°
∴△ADE∽△BEC
∴
②连接OF,交AD于H,
由①,设BC=2x,则AE=3x
∵△BEC∽△ABC ∴
∴
解得:x1=2,(不合题意,舍去)
∴AE=3x=6,BC=2x=4,AC=AE+CE=8
∴AB=,∠BAC=30°
∴∠AEO=∠EAO=∠EAF=30°,∴∠FOE=2∠FAE=60°
∴∠FOE=∠FOA=60°,连接EF,则△AOF、△EOF都是等边三角形,∴四边形AOEF是菱形
由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M,则GM=EG,OG+EG=GF+GM,根据两点之间线段最短,当F、G、M三点共线,OG+EG=GF+GM=FM最小,此时FM=FOsin60o=3.
故OG+EG最小值是3.
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【题目】如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE=CF.
(1)求证:△ADE≌△CDF
(2)如图2连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF.求证:四边形EDFG是正方形.
(3)当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?直接写出点E的位置及四边形EDFG面积的最小值.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.
(1)求直线CD的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销量就减少10件.
(1)要使每天获得利润700元,且进货量尽可能减少,请你帮忙确定售价;
(2)问售价定在多少时能使每天获得的利润最多?并求出最大利润.
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【题目】如图,Rt△ABC,∠B=90°,∠C=30°,O为AC上一点,OA=2,以O为圆心,以OA为半径的圆与CB相切于点E,与AB相交于点F,连接OE、OF,则图中阴影部分的面积是_______.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)根据图像,直接写出不等式x2+bx+c>0的解集: .
(3)设D为抛物线上一点,E为对称轴上一点,若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为: .
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【题目】如图,D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点, .
(1)求证:CD=CE.
(2)若∠AOB=120°,OA=x,四边形ODCE的面积为y,求y与x的函数关系式.
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