Question

1．平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45°得到正方形A′B′C′D′，那么这两个正方形重叠部分的面积为2$\sqrt{2}-2$．

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，从而得到重叠部分的面积等=正方形的面积-4个等腰直角三角形的面积．

解答 解：如图所示：

设AE=AF=x，则EF=$\sqrt{2}x$．
根据题意可知：AE=EL+LD=1，即2x+$\sqrt{2}x$=1．
解得：x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．
∴AE=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．
∴△AEF的面积=$\frac{1}{2}×AE×AF=\frac{1}{2}×（\frac{2-\sqrt{2}}{2}）^{2}$．
∴重合部分的面积=正方形的面积-4×△AEF的面积=1-4×$\frac{1}{2}×（\frac{2-\sqrt{2}}{2}）^{2}$=2$\sqrt{2}-2$．
故答案为：2$\sqrt{2}-2$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质，根据题意画出图形，明确重合部分的面积=正方形的面积-4×△AEF的面积是解题的关键．