Question

6．如图，已知AD是△BAC的角平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点E，试说明：ED²=EC•EB．

Answer 1

分析 由FE是AD的垂直平分线得到FA=FD，再根据等边对等角得到∠FAD=∠FDA，而∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，其中由AD是∠BAC的平分线可以得到∠1=∠2，可得∠BAF=∠ACF，再加上公共角∠BFA=∠AFB，可得△BAF∽△ACF，再根据相似三角形的性质可得结论．

解答 证明：连接AE，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵FE是AD的垂直平分线，
∴EA=ED（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠EAD=∠EDA（等边对等角），
∵∠BAE=∠EAD+∠1，∠ACE=∠EDA+∠2，
∴∠BAE=∠ACE，
又∵∠BFA=∠AFB，
∴△BAE∽△ACE，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴AE²=BE•CE，
∴DE²=BE•CE．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质、线段的垂直平分线性质、相似三角形的判定与性质，关键是证明△BAF∽△ACF．