Question

如图，△ABC内接于O⊙，AB为⊙O直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，CD与AB交于点E，连接AD、BD．
（1）求证：AB=

2

AD；
（2）若AB=8，AE=2，求CE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据角平分线的性质可得∠ACB=∠DCB，进而可得AD=BD，再根据勾股定理可得AB²=AD²+BD²，进而可得AB=

2

AD；
（2）连接DO，根据AO、BO、DO都是⊙O的半径，可得AO=BO=DO=

1

2

AB=4，再根据AD=BD利用等腰三角形的性质可得DO⊥AB，进而可得EO和DE，得出△ADE∽△CBE，求出CE的长度即可．

解答：（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=∠DCB，
∴AD=BD，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
∴AB=

2

AD；

（2）解：连接DO，
∵AO、BO、DO都是⊙O的半径，
∴AO=BO=DO=

1

2

AB=4，
∵AD=BD，
∴DO⊥AB，
在Rt△DOE中，OE=AO-AE=2，DE=

OE2+DO2

=2

5

，
∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠DCB，
∴△ADE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

DE

BE

，
∵BE=BO+EO=6，
∴CE=

6

5

5

．

点评：此题主要考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．