Question

1．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：
①2a+b＜0；②4a-2b+c=0；③3a+c=0；④a：b：c=-1：2：3．
其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ①④

Answer 1

分析 根据对称轴即可得出-$\frac{b}{2a}$=1，求出即可判断①；把x=-2代入二次函数的解析式，再结合图象即可判断②；根据二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和x轴交于（3，0）点，结合-$\frac{b}{2a}$=1，求出即可判断③；根据二次函数与x轴的交点坐标，设y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1），用a把b、c表示出来，代入求出即可判断④．

解答 解：∵二次函数的对称轴是直线x=1，
即二次函数的顶点的横坐标为x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，∴①错误；
把x=-2代入二次函数的解析式得：y=4a-2b+c，
从图象可知，当x=-2时，y＜0，
即4a-2b+c＜0，∴②错误；
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和x轴交于（3，0）点，
∴把x=3代入二次函数的解析式得：y=9a+3b+c=0，
∵x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∴3a+c=0，
∴③正确；
∵二次函数的图象和x轴的一个交点时（-1，0），对称轴是直线x=1，
∴另一个交点的坐标是（3，0），
∴设y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1）=ax²-2ax-3a，
即a=a，b=-2a，c=-3a，
∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，∴④正确；
故选C．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，当b²-4ac＞0时，二次函数的图象与x轴有两个交点，当b²-4ac=0时，二次函数的图象与x轴有一个交点，当b²-4ac＜0时，二次函数的图象与x轴没有交点，二次函数的对称轴是直线x=1时，二次函数的顶点的横坐标是x=-$\frac{b}{2a}$=1．用了数形结合思想．