Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE=BD．求证：△ADE是等边三角形．

Answer 1

分析：利用△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，求得∠ADB=90°，再用（HL）证明△CBD≌△ACE，推出AE=CD=AD，∠AEC=∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=AD，即可得出答案．

解答：证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB=90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BEC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，∠ECD+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠DBC，
∵在△CBD和△ACE中

BD=CE ∠DBC=∠ACE BC=AC

∴△CBD≌Rt△ACE（SAS），
∴CD=AE，∠AEC=∠BDC=90°，
∵D为边AC的中点，∠AEC=90°，
∴AD=DE，
∴AD=AE=DE，
即△ADE是等边三角形，

点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是先证明△CBD≌△ACE，然后再利用三边相等证明此三角形是等边三角形．