Question

阅读下文，寻找规律，并解答：
已知x≠1，计算：
（1-x）（1+x）=1-x²
（1-x）（1+x+x²）=1-x³
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴，
…
（1）观察上式，并猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

 

；
（2）根据你的猜想计算：（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=

 

；
（3）试用上面的规律计算：1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+…3²⁰¹⁰+3²⁰¹¹的值．

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：规律型

分析：（1）由（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴可以推出（1-x）（1+x+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）利用（1）的规律得出答案即可；
（3）把原式变为

(1-3)(1+3+32+33+…+32010+32011)

-2

，进一步由（1）规律得出答案即可．

解答：解：（1）（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（2）（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）
=1-2⁶
=-63；（3）原式=

(1-3)(1+3+32+33+…+32010+32011)

-2

=

1-32012

-2

=

32012-1

2

．

点评：此题考查数字的变化规律，关键在于根据各式发现规律（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，使等式左右两边的最大指数相同且左边是右边的因式分解得规律．