Question

如图8，抛物线：与轴的交点为，与轴的交点为，顶点为,将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线,它的顶点为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线与轴的另一个交点为,点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为,连接.如果点的坐标为,的面积为S，求S与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出S的最大值；

（3）设抛物线的对称轴与轴的交点为，以为圆心，两点间的距离为直径作⊙，试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由.

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点为，

∴的解析式为=，

∴.……………………1分

∵抛物线是由抛物线绕点旋转得到，∴的坐标为，∴抛物线的解析式为：，即.………………………3分

（2）∵点与点关于点中心对称，∴.

设直线的解析式为，则

 ∴

∴.………………………………4分

又点坐标为，

∴S

==，………………………………5分

∴当时，S有最大值，………………………………6分

但,所以的面积S没有最大值 ………………………………7分

（3）∵抛物线的解析式为，令得

∴.

∵抛物线的对称轴与轴的交点为，∴,∴

又∴⊙G的半径为5，∴点在⊙G上.  ……………………………8分

过点作轴的垂线，垂足为，

则. ……………………………9分

又,∴,

∴直线与⊙G相切. …………………………………………………………10分