Question

【题目】已知直线y＝kx＋3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．

①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；

②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

（2）当k＝时，设以C为顶点的抛物线y＝（x＋m）2＋n与直线AB的另一交点为D（如图2），

①求CD的长；

②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer 1

【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0），②满足条件的t的值是1.5秒或2秒；（2）①CD=，

②当t为秒时，h的值最大.

【解析】整体分析：

（1）①把x=1代入直线y=-x+3得到点C坐标，求出OQ的长得到点Q的坐标；②需要分两种情况讨论；（2）①过点D作DE⊥CP于点E，通过△DEC∽△AOB求CD的长；②因为CD的长和CD上的高确定，所以△OCD的面积确定，则h越大，OC就越小，当OC⊥AB时，OC最小，h最大，求出此时OP的长即可.

解：（1）①C（1，2），Q（2，0）.

②由题意得：P（t，0），C（t，－t＋3），Q（3－t，0）.

分两种情况讨论：

情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，

∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ＝OP，

即3－t＝t，∴t＝1.5.

情形二：当△AQC∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°，

∵OA＝OB＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ也是等腰直角三角形，

∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即t＝2（－t＋3），

∴t＝2.

∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．

（2）①由题意得：C（t，）

∴以C为顶点的抛物线解析式是y＝(x－t)2，由(x－t)2＝，

解得x1＝t，x2＝t－．

过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB＝90°.

∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，

∴△DEC∽△AOB.

∴.

∵AO＝4，AB＝5，DE＝t—（t—）＝，

∴CD＝.

②∵CD＝，CD边上的高＝，

∴S△COD＝，∴S△COD为定值．

要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，

因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO＝90°.

∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA，

又∵CP⊥OA，

∴Rt△PCO∽Rt△OAB.

∴，OP＝，即t＝.

∴当t为秒时，h的值最大．