Question

【题目】如图，在△ABC中．∠C=90°，AC＞BC，正方形CDEF的顶点D在边AC上，点F在射线CB上设CD=x，正方形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤2，2＜x≤n时，函数的解析式不同）．

（1）填空：m的值为 ；

（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）S的值能否为？若能，直接写出此时x的值；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；(2) S=；(3)不能，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）当0＜x≤m时，结合图形可知S=x2，把点（m，）代入可求得m的值；

（2）结合图形的变换可知当m＜x≤2时，点F运动到点B，可求得BC，当x=m时，可得△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性质可求得AC的长，当m＜x≤2，设AB分别交DE、EF于点P、Q两点，可用x分别表示出PE和QE，S=S正方形CDEF-S△PEQ，可得到S与x的关系式，当2＜x≤n时，设AB交DE于点H，可用x表示出AP和PH，则有S=S△ABC-S△APH，可得到S与x的关系式，从而可求得函数解析式；

（3）利用（2）中所求得关系式，分别令S=，解相应的方程进行判断即可．

试题解析：（1）当0＜x≤m时，如图1，

则可知点F从C点运动到点E运动到AB上，

∴S=x2，

∵点（m，）在函数图象上，

∴m2=，解得m=或m=-（舍去），

（2）当＜x≤2时，可知点F从E点在AB上运动到B点，

∴BC=2，

在图1中，由EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴，且CF=EF=，BF=BC-CF=2-=，

∴，解得AC=6，

①当0＜x≤时，由（1）可知S=x2；

②当＜x≤2时，设AB分别交DE、EF于点P、Q两点，如图2，

当CD=CF=DE=EF=x时，BF=2-x，AD=6-x，

∵EF∥AC，

∴，即，

∴FQ=3（2-x），

∴QE=EF-FQ=x-3（2-x）=4x-6，

同理可得，即，

∴PD=（6-x），

∴PE=DE-PD=x-（6-x）=（4x-6），

∴S△PEQ=PEPQ=×（4x-6）（4x-6）=（4x-6）2，

∴S=S正方形CDEF-S△PEQ=x2-（4x-6）2=-x2+8x-6；

③当2＜x≤6时，即点F从B点运动到使A、D重合，设AB交DE于点H，如图3，

当CD=x时，则AD=6-x，

同理可得，即，

∴DH=（6-x），

∴S△ADH=DHAD=×（6-x）（6-x）=（6-x）2，且S△ABC=ACBC=6，

∴S=S△ABC-S△APH=6-（6-x）2=-x2+2x；

综上可知S=；

（3）若S=，则有三种情况，

①当x2=时，则x=±，当x=-时显然不满足条件，当x=时，＞，也不满足条件；

②当-x2+8x-6=时，整理可得10x2-48x+75=0，该方程判别式△=482-4×10×75＜0，即该方程无实数解；

③当-x2+2x=时，整理可得x2-12x+39=0，该方程判别式△=122-4×39＜0，即该方程无实数解；

综上可知S的值不能为．