Question

12．已知等腰三角形的底边长为8，腰长a满足等式a（a-5）=4（a-5），求这个三角形的面积．

Answer 1

分析 利用因式分解法解方程a（a-5）=4（a-5）得a₁=5，a₂=4，利用三角形三边的关系得a=5，即三角形三边分别为5，5，8，接着画出几何图形：如图，在△ABC中，CA=CB=5，AB=8，作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质得AD=BD=4，则可根据勾股定理计算出CD=3，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：a（a-5）-4（a-5）=0，
（a-5）（a-4）=0，
所以a₁=5，a₂=4，
由于4+4=8，不满足三角形三边的关系，
所以a=5，
即三角形三边分别为5，5，8，
如图，在△ABC中，CA=CB=5，AB=8，
作CD⊥AB于D，则AD=BD=4，
在Rt△ADB中，∵AD=4，AC=5，
∴CD=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×3=12．
答：这个三角形的面积为12．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．