Question

1．（1）如图1，△ABC中，D是BC边上一点，且CD=2BD，连接AD，过AD上一点P作MN∥BC交AB、AC于M、N两点，求证：PN=2PM；
（2）如图2，△ABC中，D、E是BC边的三等分点，过AE上一点P作AB的平行线交AC于点M，交AD的延长线于点N，判断PN与PM之间的数量关系并证明你的结论．
（3）如图3，△ABC中，D、E在BC上，且BD=CE，过AE上一点P作AB的平行线交AC于点M，交AD的延长线于点N，若PN=5PM，请直接写出：$\frac{DE}{BC}$=$\frac{7-2\sqrt{6}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）由MN∥BC可得△AMP∽△ABD，△APN∽△ADC，然后运用相似三角形的性质即可得到$\frac{PM}{DB}$=$\frac{AP}{AD}$=$\frac{PN}{DC}$，再由CD=2BD可得PN=2PM；
（2）借鉴（1）中的经验，可通过添加辅助线，构造（1）中的双A型相似模型（过点C作CF∥MN，交AN的延长线于F，交AE的延长线于G，如图2），易得$\frac{PN}{GF}$=$\frac{AP}{AG}$=$\frac{PM}{GC}$，要证PN=3PM，只需证FG=3GC，即证FC=4GC．由AB∥FC可得△ABD∽△FCD，从而得到$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BD}{CD}$，再由点D是BC的三等分点可得$\frac{AB}{FC}$=$\frac{1}{2}$，同理可得$\frac{AB}{GC}$=2，问题得以解决；
（3）借鉴（2）中的经验，过点C作CF∥MN，交AN的延长线于F，交AE的延长线于G，如图3．由CF∥MN可证到$\frac{PN}{GF}$=$\frac{AP}{AG}$=$\frac{PM}{GC}$，再由PN=5PM可得GF=5GC，即FC=6GC．由AB∥MN，CF∥MN可得AB∥FC，从而可证到$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BD}{DC}$，$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BE}{EC}$，根据合比定理可得$\frac{AB}{AB+6GC}$=$\frac{BD}{BC}$，$\frac{AB+GC}{GC}$=$\frac{BC}{EC}$，再由BD=CE可得$\frac{AB}{AB+6GC}$•$\frac{AB+GC}{GC}$=1，整理得AB²=6GC²，即AB=$\sqrt{6}$GC，从而可得BE=$\sqrt{6}$EC，即可得到DE与EC、BC与EC的关系，就可解决问题．

解答 证明：（1）如图1，

∵MN∥BC，
∴△AMP∽△ABD，△APN∽△ADC，
∴$\frac{AP}{AD}$=$\frac{PM}{DB}$，$\frac{AP}{AD}$=$\frac{PN}{DC}$，
∴$\frac{PM}{DB}$=$\frac{PN}{DC}$．
∵CD=2BD，
∴PN=2PM；

（2）PN=3PM．
理由：过点C作CF∥MN，交AN的延长线于F，交AE的延长线于G，如图2．

∵MN∥AB，∴AB∥FC，
∴△ABD∽△FCD，
∴$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BD}{CD}$．
∵点D是BC的三等分点，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{FC}$=$\frac{1}{2}$．
同理可得$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BE}{EC}$=2，
∴FC=2AB=4GC，
∴FG=3GC．
∵MN∥FC，
∴△ANP∽△AFG，△AMP∽△ACG，
∴$\frac{PN}{GF}$=$\frac{AP}{AG}$=$\frac{PM}{GC}$，
∴PN=3PM；

（3）答案为$\frac{7-2\sqrt{6}}{5}$．
提示：过点C作CF∥MN，交AN的延长线于F，交AE的延长线于G，如图3．

由CF∥MN可证到$\frac{PN}{GF}$=$\frac{AP}{AG}$=$\frac{PM}{GC}$，再由PN=5PM可得GF=5GC，即FC=6GC．
由AB∥MN，CF∥MN可得AB∥FC，从而可证到$\frac{AB}{FC}$=$\frac{BD}{DC}$，$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BE}{EC}$，
则有$\frac{AB}{AB+6GC}$=$\frac{BD}{BC}$，$\frac{AB+GC}{GC}$=$\frac{BC}{EC}$．
∵BD=CE，∴$\frac{AB}{AB+6GC}$•$\frac{AB+GC}{GC}$=1，
整理得AB²=6GC²，
∴AB=$\sqrt{6}$GC．
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{AB}{GC}$=$\sqrt{6}$，即BE=$\sqrt{6}$EC，
∴DE=BE-BD=$\sqrt{6}$EC-EC=（$\sqrt{6}$-1）EC．
∵BC=BE+EC=$\sqrt{6}$EC+EC=（$\sqrt{6}$+1）EC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{6}+1}$=$\frac{7-2\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、合比定理等知识，利用（1）中的图形及有关结论是解决第（2）、（3）两小题的关键，是一道好题．