Question

8．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD交BE于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：AD=BE；
（2）设∠BPQ=α，那么α的大小是否随D、E的位置变化而变化？请说明理由；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BAE即可．
（2）由α=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP即可得出结论．
（3）在RT△PBQ中，利用30度角的性质即可知道PB=2PQ，由此可以解决问题．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°
在△ACD和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠C=∠BAE}\\{CD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BAE，
∴AD=BE．
（2）解：不变．由（1）可知：△ACD≌△BAE，
∴∠CAD=∠ABE，
∵α=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°，
（3）解：在△PBQ中，∠PBQ=90°-∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6，
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的根据利用全等三角形的性质，属于中考常考题型．