Question

19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C点的切线与AD垂直于点D，AD交⊙O于点E，∠B=60°，⊙O的半径为4cm，求CD的长．

Answer 1

分析 直接利用圆周角定理以及勾股定理得出BC，AC的长，再利用△ABC∽△ACD，求出DC的长即可．

解答 解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=60°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4cm，AC=4$\sqrt{3}$cm，
∵过C点的切线与AD垂直于点D，
∴∠DCA=∠B，∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△ACD，
∴$\frac{DC}{BC}$=$\frac{AC}{AB}$，
则$\frac{DC}{4}$=$\frac{4\sqrt{3}}{8}$，
解得：DC=2$\sqrt{3}$．
答：CD的长为2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理、切线的性质等知识，得出△ABC∽△ACD是解题关键．