Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，过左焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆C相交，所得弦长为1，斜率为k（k≠0）的直线l过点（1，0），且与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使得无论k取何值， 为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由过左焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆C相交，所得弦长为1，
可知椭圆C过点 ，∴ ，
又∵e= = ，a2=b2+c2；
三式联立解得 ，
∴椭圆的方程为 +y2=1；…（4分）
（II）设在x轴上存在点M（t，0）满足题意，
∵直线l过点（1，0）且斜率为k，则直线l的方程可设为：y=k（x﹣1）；
由 可知：x2+4k2（x﹣1）2=4，
整理得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0；
易知：△=64k4﹣16（1+4k2）（k2﹣1）=16（3k2+1）＞0；
设 A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则： ；
∴ =（x1﹣t，y1）（x2﹣t，y2）
=（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2
=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）
=（1+k2）x1x2﹣（t+k2）（x1+x2）+t2+k2
= ；
由题意可设： ﹣ =m（m为常数），
∴k2（4t2﹣8t）+t2﹣4=m+4mk2对任意实数k（k≠0）恒成立；
∴ ，解得：t=2，m=0；
∴存在点M（2，0）满足题意，且常数为0．
【解析】（I）由题意知椭圆C过点 ，代入椭圆方程，再由离心率e以及a、b、c的关系列方程组求出a、b即可；（II）设在x轴上存在点M（t，0）满足题意，设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，利用根与系数的关系得出x1+x2与x1x2 ， 其中A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）；再计算 ﹣ 的值，即可求出结论．