Question

如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．
（1）求证：AN=BM；
（2）求∠NOB的度数．
（3）若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形（如图），AN与BM的数量关系如何？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．
（2）设BM和AN相交于O，由∠BON=∠AOM=∠NAB+∠ABM=∠CMB+∠CBM=∠ACM而得出结论．
（3）若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形，则AN=BM，证明△ACN≌△MCB即可．

解答：（1）证明：
∵△ACM、△CBN都是等边三角形，
∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
∴∠ACN=∠BCM，
∵在△ACN和△MCB中

AC=CM ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB；
（2）∵∠BON=∠AOM，且∠AOM=∠NAB+∠ABM，
∴∠BON=∠NAB+∠ABM．
∴∠BON=∠CMB+∠ABM．
∵∠CMB+∠ABM=∠ACM=60°，
∴∠BON=60°．
（3）AN=BM，
理由如下：
∵四边形AFMC和四边形NCBF是正方形，
∴AC=CM，∠ACN=∠MCB=90°，CN=CB，
在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACN=∠MCB=90° CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定与性质的运用，平行线的判定，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．