Question

已知抛物线y=

1

2

（x-1）²-

9

2

，设该抛物线与x轴交于A，与y轴交于C，点P为抛物线上一点，PC交x轴于E，若AE=CE，求CP的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：先根据坐标轴上点的坐标特征得到C点坐标为（0，-4），点坐标为（-2，0）或（4，0），设E点坐标为（t，0），分类讨论：当A点坐标为（-2，0），利用两点间的距离公式得（t+2）²=t²+4²，解得t=3，则E点坐标为（3，0），再利用待定系数法求直线PC的解析式；当A点坐标为（4，0），同理可得E点坐标为（0，0），则直线PC为y轴，而它不属于函数图象．

解答：解：把x=0代入y=

1

2

（x-1）²-

9

2

得y=y=

1

2

-

9

2

=-4，则C点坐标为（0，-4），
把y=0代入y=

1

2

（x-1）²-

9

2

得

1

2

（x-1）²-

9

2

=0，解得x₁=-2，x₂=4，则A点坐标为（-2，0）或（4，0），
设E点坐标为（t，0），
当A点坐标为（-2，0），
∵AE=CE，
∴（t+2）²=t²+4²，解得t=3，
∴E点坐标为（3，0），
设直线PC的解析式为y=kx+b，
把E（3，0）、C（0，-4）代入得

3k+b=0 b=-4

，解得

k= 4 3 b=-4

，
∴直线PC的解析式为y=

4

3

x-4；
当A点坐标为（4，0），
∵AE=CE，
∴（t-4）²=t²+4²，解得t=0，
∴E点坐标为（0，0），
∴直线PC为y轴，它不属于函数图象，
∴直线CP的解析式为y=

4

3

x-4．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0）、（x₂，0）．也考查了待定系数法求一次函数解析式．