Question

如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为弧AD的中点．
（1）求证：OF∥BD；
（2）若

FE

ED

=

1

2

，且⊙O的半径R=6cm．求图中阴影部分（弓形）的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）利用垂径定理的推论得出OC⊥AD，进而求出∠BDA=90°，BD⊥AD，进而得出答案；
（2）首先得出△ECF∽△EBD，进而得出FC=

1

2

BD，再得出△AOC为等边三角形，利用S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC，求出即可．

解答：（1）证明：∵OC为半径，点C为弧AD的中点，
∴OC⊥AD．
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，BD⊥AD．
∴OF∥BD．

（2）解：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF=

1

2

BD．
∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE．
∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，
∴

FC

BD

=

EF

ED

=

1

2

，∴FC=

1

2

BD．
∴FC=FO，即点F为线段OC的中点．
∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，
又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形．
∴根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为

3

2

×6=3

3

．
∴S_阴影=

60π×62

360

-

1

2

×6×3

3

=6π-9

3

（cm²）．
答：图中阴影部分（弓形）的面积为（6π-9

3

）cm²．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及扇形面积求法等知识，得出△ECF∽△EBD是解题关键．