Question

12．如图，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF．若设运动时间为t（s）（0＜t≤2.5）．
（1）当t为何值时，PE∥CD；
（2）设△PEQ的面积为y（cm²），求出y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S_△PEQ=$\frac{2}{25}$S_△ABC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）在上述运动过程中，五边形ABFPE的面积是否发生变化？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意推出AP的长度，然后推出△APE∽△ACD，根据对应边成比例，即可推出t的值，推出点P、E分别为AC、AD的中点，即可推出EF的长度；
（2）作PG⊥EF于G，就可以而出EG=3，由AB∥EF就可以得出$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EQ}{CD}$，就可以表示出EQ，近而表示出GQ和PQ，在Rt△PGQ中由勾股定理就可以表示出PG，根据三角形的面积公式就可以求出y与t的关系式．
（3）如图2，过C作CG⊥AB于G，由勾股定理得到CG=4，根据S_△PEQ=$\frac{2}{25}$S_△ABC，列方程即可得到结论；
（4）由（2）的全等三角形知：△AEP、△EPC的面积相等，因此五边形的面积可转化为△ABC的面积，所以五边形的面积是个定值；

解答 解：（1）∵AE=BF=CP=t，
∴AP=5-t，
在?ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，
∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴t=2.5，
∴当t=2.5时，PE∥CD；

（2）如图1，作PG⊥EF于G，
∴EG=$\frac{1}{2}$EF．
∵AE∥BF，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF．
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EQ}{CD}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{EQ}{6}$，
∴EQ=$\frac{6}{5}$t，
∴GQ=3-$\frac{6}{5}$t．
∵CP=AQ=t，
∴PQ=5-2t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理，得
PG=$\sqrt{（5-2t）^{2}-（3-\frac{6}{5}t）^{2}}$
=4-$\frac{8}{5}$t．
∵S_△PQE=$\frac{1}{2}$EQ•PG，
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{5}$t×（4-$\frac{8}{5}$t），
=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{12}{5}$t（0＜t＜2.5）．
∴y与t之间的函数关系式为：y=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{12}{5}$t（0＜t＜2.5）；

（3）如图2，过C作CG⊥AB于G，
在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm，
∴BC=AD=AC=5，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CG=4，
∵S_△PEQ=$\frac{2}{25}$S_△ABC，
∴-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{12}{5}$t=$\frac{2}{25}$×$\frac{1}{2}×6×4$，
∴t=2，或t=$\frac{1}{2}$，
∴当t=2或$\frac{1}{2}$时，S_△PEQ=$\frac{2}{25}$S_△ABC；

（4）是定值，为12．
理由：由（2）的全等三角形知：S_△AEP=S_△PCF，即S_{五边形BFPEA}=S_△ABC；
过C作CG⊥AB于G，
等腰△ACB中，AG=BG=3，AC=BC=5，则CG=4；
∴S_{五边形BFPEA}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4=12．

点评 本题考查了平行四边形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行线分线段成比例定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用相似表示出EQ的值和运用勾股定理表示PG的值是解答本题的难点和关键．