Question

7．如图，平面直角坐标系中，已知A（0，3），B（1，0），点C在第一象限，⊙D经过点A、B、C三点，AC是⊙O的直径，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过D、C两点，则k的值是4．

Answer 1

分析 过点C作CH⊥x轴于H，连接AB、BC，易证△AOB∽△BHC，根据相似三角形的性质可得BH=3HC．设CH=n，从而可用n的代数式表示点C的坐标，再根据中点坐标公式得到点D的坐标（用n的代数式表示），然后只需根据反比例函数图象上点的坐标特征就可解决问题．

解答 解：过点C作CH⊥x轴于H，连接AB、BC，如图所示．

∵AC是⊙D的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH．
∵∠AOB=∠BHC=90°，
∴△AOB∽△BHC，
∴$\frac{AO}{BH}$=$\frac{OB}{HC}$．
∵A（0，3），B（1，0），
∴OA=3，OB=1，
∴$\frac{3}{BH}$=$\frac{1}{HC}$，
∴BH=3HC．
设CH=n，则BH=3n，OH=3n+1，
∴点C的坐标为（3n+1，n）．
∵点D是线段AC的中点，
∴点D的坐标为（$\frac{0+3n+1}{2}$，$\frac{3+n}{2}$）即（$\frac{3n+1}{2}$，$\frac{n+3}{2}$）．
∵点D、点C都在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=$\frac{3n+1}{2}$•$\frac{n+3}{2}$=n（3n+1）．
∵点C在第一象限，
∴3n+1＞0，n＞0，
∴n=1，k=4．
故答案为4．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、反比例函数图象上点的坐标特征、线段的中点坐标公式等知识，根据反比例函数图象上两点纵横坐标的乘积相等建立等量关系，是解决本题的关键．