Question

2．如图1，点E是正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F
（1）求证：AE=AF；
（2）连接EF，N为EF之中点，连接BN，求$\frac{BN}{CE}$的值；
（3）以BF为边作正方形BFMH，如图2，CH与AF相交于点Q，当E在CD上运动（不与C、D重合），问∠CQD的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请指出其范围．

Answer 1

分析 （1）证明△FAB≌△EAD，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）连接AN，作NM⊥BC于M，证明△AKM∽△BKF，根据相似三角形的性质和判定得到△AKF∽△NKB，求出∠NBM=45°，根据等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理解答即可；
（3）过点D作DR⊥QD交BC的延长线于R，证明△QAD≌△RCD，得到△DQR是等腰直角三角形，得到答案．

解答 （1）证明：∵AF⊥AE，∠BAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
在△FAB和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠EAD}\\{AB=AD}\\{∠ABF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△EAD，
∴AE=AF；
（2）解：如图1，连接AN，作NM⊥BC于M，
则NM∥CD，又点N是FE的中点，
∴CE=2MN，
∵∠AKN=∠FKB，∠ANF=∠MNB=90°，
∴△AKM∽△BKF，
∴$\frac{FK}{AK}$=$\frac{BK}{NK}$，又∠AKF=∠NKB，
∴△AKF∽△NKB，
∴∠NBK=∠AFK=45°，
∴∠NBM=45°，
∴BN=$\sqrt{2}$MN，
∴$\frac{BN}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）解：如图2，过点D作DR⊥QD交BC的延长线于R，
∵四边形BFMH是正方形，
∴BH=BF，
在△ABF与△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBH}\\{BF=BH}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBH，
∴∠BAF=∠BCH，又∠AHQ=∠CHB，
∴∠AQH=∠ABC=90°，
∵∠AHC=∠AQH+∠BAF，∠QAD=∠BAF+∠BAD，
∴∠AHC=∠QAD，
∵AB∥CD，
∴∠AHC=∠DCR，
∴∠DCR=∠QAD，
∵∠ADC=∠QDR=90°，
∴∠ADQ=∠CDR，
在△QAD和△DCR中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QAD=∠DCR}\\{AD=CD}\\{∠ADQ=∠CDR}\end{array}\right.$，
∴△QAD和△RCD，
∴DQ=DR，
∴∠CQD=45°．

点评 本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，正确的做出辅助线是解题的关键．