Question

14．如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE
（1）求证：BC=AE；
（2）已知AE=3，AB=4，∠ABC=90°，计算CD的长度；
（3）在（2）的条件下，连接CE，试计算△CDE的周长．

Answer 1

分析 （1）根据ASA证明△ABC≌△DAE即可．
（2）利用全等三角形的性质得出∠DAE=∠B=90°，AB=AD=4，DE=AC，在RT△AED中利用勾股定理即可解决问题．
（3）在RT△AEC中利用勾股定理求出线段EC即可．

解答 （1）证明：∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAC，
在△ABC和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠ADE}\\{AB=AD}\\{∠B=∠DAE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DAE，
∴BC=AE．
（2）∵△ABC≌△DAE，
∴∠DAE=∠B=90°，AB=AD=4，DE=AC，
在RT△ADE中，∵AE=3，AD=4，
∴ED=AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴CD=AC-AD=5-4=1．
（3）在RT△AEC中，∵AE=3，AC=5
∴$EC=\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴△EDC周长=ED+CD+EC=6+$\sqrt{34}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，灵活运用全等三角形的性质是解决问题的关键，属于中考常考题型．