Question

6．如图，等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，OA=1，OC=2，OB=3，求∠AOC的角度．

Answer 1

分析 把△CAO绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，如图，先证明△CPO为等腰直角三角形，再利用勾股定理的逆定理证明△BPO为直角三角形，∠BPO=90°，于是可计算∠BPC的度数，从而得到∠AOC的度数．

解答 解：∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，CA=CB，
把△CAO绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，如图，
∴∠OCP=90°，CP=CO=2，BP=AO=1，∠BPC=∠AOC，
∴△CPO为等腰直角三角形，
∴∠CPO=45°，PO=$\sqrt{2}$CO=2$\sqrt{2}$，
在△BPO中，∵PB=1，OP=2$\sqrt{2}$，OB=3，
而1²+（2$\sqrt{2}$）²=3²，
∴BP²+PO²=OB²，
∴△BPO为直角三角形，∠BPO=90°，
∴∠BPC=∠BPO+∠CPO=90°+45°=135°，
∴∠AOC=135°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理的逆定理和等腰直角三角形．