Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（4，0），（2，0），现以B为圆心，1为半径在第一象限内画半圆，M，N是此半圆的三等分点，点P在$\widehat{MN}$上，射线AP交y轴于点Q，当点P从点M运动到点N时，点Q相应移动的路径长为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
• B． $\frac{8}{15}$$\sqrt{3}$
• C． 2-$\frac{4}{5}$$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$-2

Answer 1

分析 延长AN交y轴于Q₁，延长AM交y轴于Q₂，作NE⊥OA于E，由NE∥OQ₁，得$\frac{NE}{O{Q}_{1}}=\frac{AE}{AO}$求出OQ₁，再证明∠BAM=30°，在RT△OAQ₂中求出OQ₂即可求出Q₁Q₂．

解答 解：如图延长AN交y轴于Q₁，延长AM交y轴于Q₂，作NE⊥OA于E，
∵M、N是半圆的三等分点，
∴∠NBO=∠MBN=∠MBA=60°，
在RT△BNE中，∵BN=1，∠NBE=60°，
∴∠BNE=30°，EB=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{1}{2}$，NE=$\sqrt{3}$EB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵NE∥OQ₁，
∴$\frac{NE}{O{Q}_{1}}=\frac{AE}{AO}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{O{Q}_{1}}=\frac{\frac{5}{2}}{4}$，
∴OQ₁=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，
∵BM=BG，∠MBG=60°，
∴△MBG是等边三角形，
∴MG=BM=AG，
∴∠AMB=90°，∠MAB=30°，
在RT△AOQ₂中，∵AO=4，∠OAQ₂=30°，
∴OQ₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴Q₁Q₂=OQ₂-OQ₁=$\frac{8\sqrt{3}}{15}$．
故选B．

点评 本题考查轨迹的有关知识、直角三角形30度角的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解轨迹题目的关键是找到起始点和终点的位置，确定轨迹的图形．