Question

18．如图，在△ABC中，BC=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°=2∠ECB，BD⊥CD，则（2BD）²=16-8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延长BD至F，使得DF=BD，连结CF交AB于G．根据中垂线的性质和等腰直角三角形的判定和性质得到CF=2$\sqrt{2}$，BG=CG=2，根据线段的和差求得FG=2$\sqrt{2}$-2，
在Rt△BGF中，根据勾股定理即可求解．

解答 解：延长BD至F，使得DF=BD，连结CF交AB于G．
∵BD⊥CD，DF=BD，
∴CF=CB=2$\sqrt{2}$，∠DCF=∠ECB，
∵∠ABC=45°=2∠ECB，
∴∠BCG=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵BC=2$\sqrt{2}$，
∴BG=CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2，
∴FG=2$\sqrt{2}$-2，
在Rt△BGF中，（2BD）²=BF²=BG²+FG²=2²+（2$\sqrt{2}$-2）²=16-8$\sqrt{2}$．
故答案为：16-8$\sqrt{2}$．

点评 考查了勾股定理，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，本题关键是作出辅助线构造直角三角形，难度较大．