Question

20．如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为8，AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=$\frac{4}{5}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的一支经过AO的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）四边形OCDB的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据锐角三角函数的定义，求出OA的值，然后根据勾股定理求出AB的值，然后由C点是OA的中点，求出C点的坐标，然后将C的坐标代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$中，即可确定反比例函数解析式；
（2）作CE⊥x轴于点E，然后根据S_{四边形OCDB}=S_△OCE+S_梯形CEBD即可求解．

解答 解：（1）∵A点的坐标为（8，y），
∴OB=8，
∵AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴OA=10，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}$=6，
∵点C是OA的中点，且在第一象限内，
∴C（4，3），
∵点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=12，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{12}{x}$；
（2）作CE⊥x轴于点E．则E的坐标是（4，0）．
OE=BE=4，CE=3．
在y=$\frac{12}{x}$中，令x=8，解得y=$\frac{3}{2}$，则BD=$\frac{3}{2}$．
则S_{四边形OCDB}=S_△OCE+S_梯形CEBD=$\frac{1}{2}$OE•CE+$\frac{1}{2}$（CE+BD）•BE=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$（3+$\frac{3}{2}$）×4=6+9=15．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，在计算不规则的图形的面积时常用的方法是转化成规则图形的面积的和或差计算．