Question

9．若将抛物线F：抛物线y=x²+bx$\frac{9}{2}$改成y=ax²+bx+c，抛物线的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a′x²+b′x+c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．且a、b、c满足了b²=2ac
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先表示出D的坐标，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式，即可得出b，b′的比例关系；
（2）探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC是个平行四边形，已知了OA∥BC，只需看A，B的纵坐标是否相等，即OA是否与BC的长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标，然后用待定系数法可求出OP所在直线的解析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标，然后判断B的纵坐标是否与A点相同，如果相同，则四边形OABC是矩形（∠AOC=90°），如果B，A点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB是个直角梯形．

解答 解：（1）抛物线y=ax²+bx+c中，令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵b²=2ac，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4ac-2ac}{4a}$=$\frac{2ac}{4a}$=$\frac{c}{2}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{c}{2}$）．
∵PD⊥x轴于D，
∴点D的坐标为（-$\frac{b}{2a}$，0）．
根据题意，得a=a′，c=c′，
∴抛物线F′的解析式为y=ax²+b'x+c．
又∵抛物线F′经过点D（-$\frac{b}{2a}$，0），
∴0=a×$\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}$+b'（-$\frac{b}{2a}$）+c．
∴0=b²-2bb'+4ac．
又∵b²=2ac，
∴0=3b²-2bb'．
∴b：b′=2：3．
（2）由（1）得，抛物线F′为y=ax²+$\frac{3}{2}$bx+c．
令y=0，则ax²+$\frac{3}{2}$bx+c=0．
∴x₁=-$\frac{b}{2a}$，x₂=-$\frac{b}{a}$．
∵点D的横坐标为-$\frac{b}{2a}$
∴点C的坐标为（-$\frac{b}{a}$，0）．
设直线OP的解析式为y=kx．
∵点P的坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{c}{2}$），
∴$\frac{c}{2}$=-$\frac{b}{2a}$k，
∴k=-$\frac{ac}{b}$=-$\frac{2ac}{2b}$=-$\frac{{b}^{2}}{2b}$=-$\frac{b}{2}$，
∴y=-$\frac{b}{2}$x．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴ax²+bx+c=-$\frac{b}{2}$x．
∴x₁=-$\frac{b}{2a}$，x₂=-$\frac{b}{a}$．
∵点P的横坐标为-$\frac{b}{2a}$，
∴点B的横坐标为-$\frac{b}{a}$．
把x=-$\frac{b}{a}$代入y=-$\frac{b}{2}$x，
得y=-$\frac{b}{2}$（-$\frac{b}{a}$）=$\frac{{b}^{2}}{2a}$．
∴点B的坐标为（-$\frac{b}{a}$，c）．
∴BC∥OA，AB∥OC，
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．

点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点，函数图象的平移问题，弄清楚抛物线在平移过程中，各系数的变化情况是解答（1）问题的关键所在，（2）问题关键要表示出关键点的坐标即线段的长度，是判断四边形形状的关键．