Question

19．如图所示，在△ABC中，点E，F，D分别在线段AB，AC，BC上，并且满足∠DEF=∠DFE=∠BCA=45°，已知CF=6，CD=8，则线段EC的长为2$\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 首先过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，证明△FDM≌△DEN（AAS），进而得出EN=DM，ND=FM，再利用锐角三角函数关系得出FM的长，再利用勾股定理得出EC的长．

解答 解：过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDN+∠FDM=90°，
∵∠DFM+∠FDM=90°，
∴∠EDN=∠DFM，
在△FDM和△DEN中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FMD=∠END}\\{∠MFD=∠EDN}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△FDM≌△DEN（AAS），
∴EN=DM，ND=FM，
∵FC=6，∠ACB=45°，
∴FM=MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=3$\sqrt{2}$，
∴DM=EN=8-3$\sqrt{2}$，ND=FM=3$\sqrt{2}$，
∴NC=8+3$\sqrt{2}$，
∴EC=$\sqrt{E{N}^{2}+N{C}^{2}}$=$\sqrt{（8-3\sqrt{2}）^{2}+（8+3\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{41}$．
故答案为：2$\sqrt{41}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系、勾股定理等知识，正确得出EN，NC的长是解题关键．