Question

16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连结AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y=-x上有一动点Q，连结OP，PQ，已知△OPQ的面积为$\sqrt{2}$，则点Q的坐标为（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．．

Answer 1

分析 方法一：由A、B点的坐标可得出直线AB的解析式，从而发现直线AB与直线OQ平行，由平行线间距离处处相等，可先求出点O到直线AB的距离，结合三角形面积公式求出线段OQ的长度，再依据两点间的距离公式可得出结论．
方法二：当点P与点A重合时，根据三角形的面积可求出点Q的横坐标，再根据一次函数图象上点的坐标即可求出点Q的坐标；同理可求出当点P与B重合时点Q的坐标．综上即可得出结论．

解答 解：方法一：∵点Q在直线y=-x上，
∴设点Q的坐标为（m，-m）．
∵点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），
∴△AOB为等腰直角三角形，
点O（0，0）到AB的距离h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA=$\sqrt{2}$．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵点A（0，2），点B（2，0）在直线AB上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
即直线AB的解析式为y=-x+2，
∵直线y=-x+2与y=-x平行，
∴点P到底OQ的距离为$\sqrt{2}$（平行线间距离处处相等）．
∵△OPQ的面积S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OQ=$\sqrt{2}$，
∴OQ=2．
由两点间的距离公式可知OQ=$\sqrt{（m-0）^{2}+（-m-0）^{2}}$=2，
解得：m=±$\sqrt{2}$，
∴点Q的坐标为（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
故答案为：（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
方法二：当P点与A重合时，则△OPQ底OP为2，
∵△OPQ的面积为$\sqrt{2}$，
∴△OPQ的高为$\sqrt{2}$，即点Q的横坐标为-$\sqrt{2}$，
∵点Q在直线y=-x上，
∴点Q的坐标为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
当P点与B重合时，同理可求出点Q的坐标为（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
综上即可得出点Q的坐标为（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、平行线的性质、三角形的面积公式以及两点间的距离公式，解题的关键是求出线段OQ=2．本题属于中档题，难度不大，只要找出直线AB与直线OQ平行即能得出底边OQ上的高的长度，再结合两点间的距离公式找出结论．解决该类题型，要首先想到由点到距离的公式求出三角形的高．